Nowy model przewodzenia ciepła w strukturach wielowarstwowych

Wynik projektu – nowy model matematyczny przewodzenia ciepła

W dużym uproszczeniu, projekt dotyczył odpowiedzi na pytanie, jak ciepło rozchodzi się w materiałach zbudowanych z wielu warstw o różnych właściwościach. Są to materiały projektowane w taki sposób, aby ich właściwości zmieniały się w określonym kierunku. Problem polega na tym, że w takich złożonych materiałach przewodzenie ciepła jest trudniejsze do opisu niż w materiale jednorodnym, czyli takim, który ma taki sam skład i właściwości w każdym punkcie tego ciała. Każda warstwa może inaczej reagować na zmianę temperatury, a szczególnie interesujące zjawiska pojawiają się przy bardzo szybkim nagrzewaniu i dużych różnicach temperatur. Problem komplikuje się, gdy tych warstw wykonanych z różnych materiałów jest bardzo dużo, np. 20, 50, 100 i więcej. Zatem, nie mówimy tu o strukturach typu sandwich ani o ścianach trójwarstwowych w budynkach.

Dlatego dr inż. Olga Szlachetka z Katedry Mechaniki Budowli Wydziału Budownictwa, Inżynierii Środowiska i Architektury Szkoły Głównej Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie opracowała nowy model matematyczny przewodzenia ciepła, oparty na modelowaniu tolerancyjnym, który pozwala uwzględnić zarówno klasyczne przewodzenie ciepła opisane modelem Fouriera, jak i bardziej złożone efekty związane z modelem Cattaneo, dla takich wielowarstwowych struktur. Co więcej, na tyle ogólny, że liczba materiałów wchodzących w skład tej struktury nie gra roli. Następnie dr inż. Olga Szlachetka rozwiązała kilka szczególnych przypadków, wykorzystując metodę elementów skończonych. Dzięki tym rozwiązaniom można było obserwować, jak temperatura zmienia się wewnątrz materiału w czasie i jak wpływają na nią liczba warstw, ich układ i właściwości. W trakcie badań rozszerzyła również analizę o naprężenia cieplne, ponieważ nierównomierne nagrzewanie może prowadzić do odkształceń, pękania i tym samym do degradacji materiału.

Dalszym celem jest rozwijanie tego modelu i wykorzystanie go nie tylko do analizowania tego, co się dzieje w określonych strukturach materiałowych, ale również do projektowania materiałów o z góry określonych właściwościach cieplnych. Takie rozwiązania mogą mieć znaczenie między innymi w energetyce, elektronice, lotnictwie i wszędzie tam, gdzie są osłony pracujące w wysokich lub bardzo niskich temperaturach, ale oczywiście także w budownictwie. To właśnie przegrody budowlane, ich właściwości cieplne, pojemność cieplna i wpływ na efektywność energetyczną budynków były jednymi z pierwszych obszarów zainteresowań naukowych dr inż. O. Szlachetki. Do dziś, równolegle z modelowaniem matematycznym i mechaniką, rozwija zagadnienia związane z energooszczędnością, optymalizacją rozwiązań materiałowych oraz gospodarką o obiegu zamkniętym. Dlatego widzi tu również możliwość wykorzystania rozwijanych modeli do projektowania bardziej energooszczędnych rozwiązań w budownictwie. Zależy jej na tym, żeby stworzyć możliwie uniwersalny, ale nie przesadnie skomplikowany model. Nie do końca zgadza się ze stwierdzeniem, że jeśli coś jest do wszystkiego, to jest do niczego. Dobry model ogólny powinien pozwalać opisać wiele różnych przypadków, a jednocześnie zachować prostotę, która umożliwia jego praktyczne wykorzystanie. Do takich rozwiązań zawsze dąży.

Teoria przewodzenia ciepła

Teoria przewodzenia ciepła pozwala odpowiedzieć na bardzo podstawowe, ale jednocześnie ważne pytanie: co dzieje się z temperaturą wewnątrz materiału, kiedy jest on ogrzewany lub chłodzony? Pozwala określić, jak szybko ciepło przemieszcza się z jednego miejsca do drugiego, jaka temperatura pojawi się w konkretnym miejscu po określonym czasie oraz jak wpływają na to właściwości materiału. W przypadku jednorodnego materiału problem jest stosunkowo dobrze poznany.

W projekcie dr inż. Olgi Szlachetki sytuacja jest bardziej skomplikowana, ponieważ materiał składa się z wielu warstw, które mogą mieć zupełnie różne właściwości cieplne. Przewodzenie ciepła opisuje się równaniem matematycznym, a dokładnie równaniem różniczkowym cząstkowym. Ma ono z uwagi na strukturę materiału silnie oscylujące i nieciągłe współczynniki, dlatego jest tak trudne do rozwiązania. Stąd modelowanie tolerancyjne, ponieważ pozwala uzyskać równania o współczynnikach gładkich i wolnozmiennych. Dzięki rozwiązaniu równania przewodzenia ciepła można, mówiąc kolokwialnie, „zajrzeć” do wnętrza materiału i zobaczyć, jak temperatura zmienia się w czasie, bez wykonywania bardzo dużej liczby kosztownych eksperymentów. W tym konkretnym projekcie interesujący jest również problem odwrotny. Nie tylko pada pytanie: „Jaki będzie rozkład temperatury w takim materiale?”, ale również: „Jak zbudować materiał, żeby uzyskać taki rozkład temperatury, jaki jest potrzebny?” Ma to bardzo praktyczne znaczenie dla projektowania nowych materiałów.

Materiały o funkcyjnej gradacji własności

Materiały o funkcyjnej gradacji własności, wzięły swoją nazwę od angielskiego Functionally Graded Materials, stąd skrót FGM. To nowoczesne materiały, których właściwości zmieniają się wraz z położeniem w materiale. Ta zmiana właściwości materiału wraz z położeniem to gradacja. Na przykład, materiał z jednej strony ma właściwości charakterystyczne dla ceramiki, a przechodząc w głąb, coraz bardziej przypomina metal. Nie ma gwałtownej granicy pomiędzy dwoma zupełnie różnymi materiałami, ale jest odpowiednio zaprojektowane przejście pomiędzy ich właściwościami. Materiał FGM to kameleon. Z jednej strony może być bardzo odporny na temperaturę, w środku stopniowo zmieniać swój charakter, a z drugiej być bardziej wytrzymały mechanicznie. Projektuje się więc nie tylko to, z czego materiał jest wykonany, ale też, gdzie i w jakim procencie dana właściwość ma się pojawić. Niejednorodność materiału nie jest tu wadą, tylko czymś świadomie zaprojektowanym. Jeżeli skład lub właściwości materiału zmieniają się w sposób zaprojektowany wraz z położeniem, mówimy o gradacji funkcyjnej. Zmianę tę można opisywać m.in. funkcją liniową, kwadratową lub inną zależnością.

W praktyce gradacja właściwości może być realizowana na różne sposoby. Można dążyć do ciągłej zmiany składu i właściwości materiału, na przykład poprzez odpowiednio sterowane procesy natryskowe. W takim przypadku materiał stopniowo zmienia swój charakter w miarę przechodzenia przez jego grubość. Ma to duże znaczenie, ponieważ gdyby po prostu połączyć dwa materiały o bardzo różnych właściwościach, na ich granicy mogłyby powstawać duże naprężenia, a w konsekwencji uszkodzenia. Drugim rozwiązaniem jest zbudowanie materiału z wielu warstw o różnym składzie i różnych właściwościach. Wtedy zmiana pomiędzy kolejnymi warstwami ma charakter skokowy i mówimy o tzw. step-wise FGM. Właśnie tego typu wielowarstwowe struktury o skokowej gradacji były głównym przedmiotem badań dr inż. Olgi Szlachetki.

Warstwy mogą być przy tym bardzo cienkie i występować w dużej liczbie, dlatego w skali całego elementu materiał może być postrzegany jako taki, którego właściwości zmieniają się stopniowo, mimo że na poziomie mikrostruktury zmiany zachodzą skokowo. I tutaj szczególnie przydatne jest modelowanie tolerancyjne, ponieważ pozwala ono pracować z oboma sposobami opisu materiałów FGM. Jeżeli znana jest rzeczywista, warstwowa struktura materiału, można przejść od niej do modelu uśrednionego, czyli modelu opisującego właściwości efektywne całej struktury, a następnie, jeśli jest to potrzebne dokonać rekonstrukcji analizowanego pola, na przykład temperatury. Możliwa jest również sytuacja, w której zaczyna się od materiału efektywnego, potem określa się sposób zmiany udziału poszczególnych składników, czyli funkcji gradacji lub nasycenia, i na tej podstawie buduje się odpowiadający mu model warstwowy. Dlatego modelowanie tolerancyjne jest dla dr inż. O. Szlachetki tak interesujące – pozwala łączyć dwa poziomy opisu: szczegółową strukturę materiału i jego uśrednione, efektywne zachowanie.

Zatem właściwości efektywne mówią nam, jak taka złożona struktura zachowuje się jako całość. Przykładem może być efektywna przewodność cieplna. Bardzo ważne jest przy tym, aby podkreślić, że właściwości efektywne takiego kompozytu nie są po prostu sumą właściwości materiałów, z których został on zbudowany. O zachowaniu całej struktury decyduje nie tylko to, jakie materiały zastosujemy, ale również ich proporcje, rozmieszczenie, kolejność warstw, geometria oraz sposób, w jaki poszczególne składniki współpracują ze sobą. Innymi słowy, jeżeli połączymy dwa materiały o określonych właściwościach, to właściwość całego kompozytu nie wynika z ich prostego dodania. Struktura materiału sama staje się elementem wpływającym na jego zachowanie.

Wykorzystanie modelu Fouriera oraz modelu Cattaneo

Model Fouriera jest podstawowym, klasycznym modelem opisującym przewodzenie ciepła. W dużym uproszczeniu zakłada on, że ciepło przepływa od obszarów o wyższej temperaturze do obszarów o niższej temperaturze, a intensywność tego przepływu zależy między innymi od gradientu temperatury oraz właściwości materiału. Model ten zakłada ponadto natychmiastową reakcję strumienia ciepła na zmianę gradientu temperatury, co odpowiada nieskończonej prędkości propagacji zaburzeń cieplnych. Ten model dobrze sprawdza się w wielu klasycznych zagadnieniach inżynierskich. Jego ograniczenia, mogą jednak mieć znaczenie w procesach zachodzących w bardzo krótkich skalach czasowych, gdy opóźnienie reakcji strumienia ciepła nie może być pominięte.

Dlatego drugim rozważanym przez dr inż. Olgę Szlachetkę modelem był model Cattaneo. Wprowadza on dodatkowe pojęcie – czas relaksacji strumienia ciepła. Oznacza to, że materiał nie musi reagować na zmianę temperatury natychmiast, lecz potrzebuje pewnego czasu, aby strumień ciepła dostosował się do nowych warunków. Można więc powiedzieć, że Fourier opisuje klasyczne przewodzenie ciepła, a Cattaneo pozwala dodatkowo uwzględnić opóźnioną reakcję materiału. W projekcie, dr inż. O. Szlachetkę interesowało połączenie tych dwóch sposobów opisu w ramach jednego modelu tolerancyjnego.

Skład zespołu

Dr inż. Olga Szlachetka projekt realizowała samodzielnie jako kierownik działania naukowego, natomiast bardzo ważnym elementem była współpraca międzynarodowa. Odbyła 90-dniowy staż naukowy w International Research Center on Mathematics and Mechanics of Complex Systems (M&MoCS) na Uniwersytecie L’Aquila we Włoszech. Miała tam możliwość konsultowania swoich badań ze specjalistami zajmującymi się modelowaniem matematycznym i numerycznym złożonych układów oraz rozwijania umiejętności związanych z symulacjami komputerowymi. Efektem projektu są już dwie opublikowane prace, a kolejne dwie są w drodze.

• Szlachetka Olga, Giorgio Ivan: Thermal analysis of multilayered composite walls: experimental investigation and comparison with tolerance modeling and FEM, Zeitschrift Fur Angewandte Mathematik und Physik, 2026, vol. 77, nr 6, s.1-26, Numer artykułu:172. DOI:10.1007/s00033-026-02801-0
• Szlachetka Olga, Giorgio Ivan: An Investigation of Thermoelastic Behavior in Periodic and Functionally Graded Multilayered Composite Structures Using Tolerance Modeling and Finite Element Methods, Mechanics Research Communications, 2025, vol. 150, s.1-17, Numer artykułu:104546. DOI:10.1016/j.mechrescom.2025.104546

dr inż. Olga Szlachetka – przejdź do profilu naukowca w Bazie Wiedzy SGGW (otwarcie w nowej karcie)
Katedra Mechaniki Budowli
Wydział Budownictwa, Inżynierii Środowiska i Architektury SGGW

Badania „Ujednolicona teoria przewodzenia ciepła łącząca model Fouriera oraz model Cattaneo w ramach modelowania tolerancyjnego w wieloskładnikowych wielowarstwowych kompozytach o funkcyjnej gradacji własności efektywnych” zostały zrealizowane w ramach projektu MINIATURA 8, finansowanego przez Narodowe Centrum Nauki (NCN), nr projektu 2024/08/X/ST8/01078.